Arguments d'un nombre complexe

Remarque

Soit `z=x+iy` un nombre complexe non nul avec `x \in \mathbb{R}` et `y \in \mathbb{R}` . On peut écrire :
\(\begin{align*} z=\left\vert z \right\vert \times \frac{z}{\left\vert z \right\vert} = \left\vert z \right\vert \times \frac{x+iy}{\left\vert z \right\vert} = \left\vert z \right\vert \times \left(\frac{x}{\left\vert z \right\vert} + i \frac{y}{\left\vert z \right\vert} \right). \end{align*}\)

Le nombre complexe \(Z=\left(\frac{x}{\left\vert z \right\vert} + i \frac{y}{\left\vert z \right\vert} \right)\) appartient à \(\mathbb{U}\) . En effet :
\(\begin{align*} \left\vert Z \right\vert^2 = \left(\frac{x}{\left\vert z \right\vert} \right)^2 + \left(\frac{y}{\left\vert z \right\vert} \right)^2 = \frac{x^2}{\left\vert z \right\vert^2}+\frac{y^2}{\left\vert z \right\vert^2} = \frac{x^2+y^2}{\left\vert z \right\vert^2} = \frac{\left\vert z \right\vert^2}{\left\vert z \right\vert^2} = 1. \end{align*}\)

Par conséquent, d'après la propriété sur l'écriture d'un nombre complexe de module 1 et par unicité de la forme algébrique, on en déduit la propriété suivante.

Proposition et définition (admise)

Soit `z=x+iy` un nombre complexe non nul avec `x \in \mathbb{R}` et `y \in \mathbb{R}` .  Il existe des réels `\theta`  tels que : \(\begin{align*} \cos(\theta)=\frac{x}{\left\vert z \right\vert} \ \ \text{ et } \ \ \sin(\theta)=\frac{y}{\left\vert z \right\vert} \end{align*}\) .
Ces réels `theta` sont appelés arguments de `z` .